Fonction (strictement) décroissante sur un intervalle

Définitions

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

• On dit que \(f\) est décroissante sur \(I\) si, pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a<b\), on a \(f(a)\color{red}\geq f(b)\) (inégalité large).

• On dit que \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) si, pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a<b\), on a \(f(a)\color{red}> f(b)\) (inégalité stricte).

Illustration graphique

Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Voici la courbe représentative d'un fonction décroissante sur l'intervalle \([-2;+\infty[\).

Voici la courbe d'une fonction strictement décroissante sur l'intervalle \(]0,1;+\infty[\) .

Exemple

La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-2x+1\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).

• Première méthode
  La fonction \(f\) est une fonction affine. Son coefficient directeur est \(-2\). Il est strictement négatif. La fonction affine \(f\) est donc strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
  
• Deuxième méthode
  Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\). On détermine le signe de \(f(a)-f(b)\).\(f(a)-f(b)=-2a+1-(-2b+1)=-2a+1+2b-1=-2a+2b=-2\times a-2\times(-b)=-2(a-b)\)Et donc \(f(a)-f(b)=-2(a-b)\) or \(-2<0\) et \(a-b<0\) puisque \(a<b\).
  Le nombre \(f(a)-f(b)\) est le produit de deux réels strictement négatifs. Donc, d'après la règle des signes, il est strictement positif. 
  Finalement on a : \(f(a)-f(b)>0 \iff f(a)>f(b)\).
  On a donc démontré que, pour tout couple \((a;b)\) d'éléments de \(\mathbb{R}\) tels que \(a<b\), on a \(f(a)\color{red}> f(b)\).
  Ceci signifie que la fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
  
• Troisième méthode
  On utilise les propriétés sur les inégalités.
  Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
  On multiplie chaque membre de cette inégalité par le nombre négatif \(-2\).
  On obtient : \(-2a>-2b\).
  On ajoute \(1\) à chaque membre de cette inégalité.
  On obtient : \(-2a+1>-2b+1\)
  Soit \(f(a)>f(b)\)
  La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).